soal dan pembahasan bab dimensi 3

Pembahasan soal Ujian Nasional (UN) Matematika IPA jenjang pendidikan SMA untuk pokok bahasan Dimensi Tiga yang meliputi jarak atau sudut antara titik, garis dan bidang.

Berikut beberapa konsep yang digunakan pada pembahasan :

1. UN 2008
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik H ke garis AC adalah ...
A.  8√3
B.  8√2
C.  4√6
D.  4√3
E.  4√2

Pembahasan :

Jarak titik H ke garis AC adalah OH.
rusuk = a = 8
OH = $\frac{a}{2}$√6 = $\frac{8}{2}$√6 = 4√6

Jawaban : C


2. UN 2010
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik P adalah titik potong AH dan ED dan titik Q adalah titik potong FH dan EG. Jarak titik B ke garis PQ adalah ...
A.  √22  cm
B.  √21  cm
C.  2√5  cm
D.  √19  cm
E.  3√2  cm

Pembahasan :

Jarak titik B ke garis PQ adalah BR.
rusuk = a = 4

BP = BQ = $\frac{a}{2}$√6 = $\frac{4}{2}$√6 = 2√6
PQ = $\sqrt{P{S}^2+S{Q}^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$

BPQ sama kaki sehingga :
PR = RQ = $\frac{1}{2}$PQ = $\frac{1}{2}$(2√2) = √2

Perhatikan segitiga BPR siku-siku di R
BR = $\sqrt{B{P}^2-P{R}^2}$
BR = $\sqrt{{\left(2\sqrt{6}\right)}^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2}$
BR = $\sqrt{22}$

Jawaban : A


3. UN 2011
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. M adalah titik tengah EH. Jarak titik M ke AG adalah ...
A.  4√6  cm
B.  4√5  cm
C.  4√3  cm
D.  4√2  cm
E.  4  cm

Pembahasan :

Jarak titik M ke garis AG adalah MO
a = 8

Perhatikan bahwa garis MN dan AG berpotongan tegak lurus dan sama besar di titik O, sehingga
MO = $\frac{1}{2}$. MN
MO = $\frac{1}{2}$. a√2
MO = $\frac{1}{2}$. 8√2
MO = 4√2

Jawaban : D


4.  UN 2007
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6√3 cm. Jarak Bidang ACH dan EGB adalah ...
A.  4√3  cm
B.  2√3  cm
C.  4  cm
D.  6  cm
E.  12  cm

Pembahasan :

Jarak bidang ACH dan EGB = jarak garis OH dan BR = jarak titik P dan Q  ⇒ PQ.

rusuk = a = 6√3
OH = BR = $\frac{a}{2}$√6 = 9√2
OR = a = 6√3
HF = a√2 = 6√6
HR = $\frac{1}{2}$ × HF = 3√6
DF = a√3 = 18

Perhatikan bidang BDHF

OHRB adalah jajar genjang dengan alas OH dan tinggi PQ
Ingat : luas jajar genjang $=alas\times tinggi$

Luas jajar genjang OHRB = 2 × luas ⊿ OHR
OH × PQ = 2 × $\frac{1}{2}$×HR×OR
OH × PQ = HR × OR
9√2 × PQ = 3√6 × 6√3
⇒ PQ = 6

atau
DP = PQ = QF = $\frac{1}{3}$ × DF
DP = PQ = QF = $\frac{1}{3}$ × 18
⇒ PQ = 6

Jawaban : D


5. UN 2009
Diketahui kubus ABCD.EFGH, panjang rusuk kubus adalah 12 cm. Titik P terletak pada perpanjangan rusuk DC sehingga CP : DP = 1 : 3. Jarak titik P dengan bidang BDHF adalah ...
A.  6√2  cm
B.  9√2  cm
C.  12√2  cm
D.  16√2  cm
E.  18√2  cm

Pembahasan :

Jarak titik P ke bidang BDHF = jarak titik P ke garis BD  ⇒ PQ.
rusuk = a = 12
CP : DP = 1 : 3  ⇒  DC : CP = 2 : 1
DC = 12  ⇒ CP = 6
DP = DC + CP = 12 + 6 =18
BD = a√2 = 12√2

Perhatikan segitiga BDP

Dengan menggunakan rumus luas segitiga diperoleh :
$\frac{1}{2}$ × BD × PQ = $\frac{1}{2}$ × DP × BC
 BD × PQ = DP × BC
12√2 × PQ = 18 × 12
⇒ PQ = 9√2

Jawaban : B


6. UN 2012
Kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Jarak titik H ke bidang ACF adalah ...
A.  $\frac{2}{3}$√3  cm
B.  $\frac{4}{3}$√3  cm
C.  $\frac{11}{3}$√3  cm
D.  $\frac{8}{3}$√3  cm
E.  $\frac{13}{3}$√3  cm

Pembahasan :

Jarak titik H ke bidang ACF = jarak titik H ke garis OF = jarak titik H ke titik P  ⇒ HP.
rusuk = a = 4
OF = OH = $\frac{a}{2}$√6 = 2√6
FH = a√2 = 4√2
OQ = a = 4

Perhatikan segitiga OFH

HP dan OQ merupakan garis tinggi, sehingga dengan menggunakan rumus luas segitiga akan diperoleh persamaan sebagai berikut ;
$\frac{1}{2}$×OF×HP = $\frac{1}{2}$×FH×OQ
OF × HP = FH × OQ
2√6 × HP = 4√2 × 4
⇒ HP = $\frac{8}{3}$√3

HP = $\frac{2}{3}$ × HB
HP = $\frac{2}{3}$ × a√3
HP = $\frac{2}{3}$ × 4√3
HP = $\frac{8}{3}$√3

Jawaban : D


7. UN 2013
Kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Jarak titik B ke CE adalah ...
A.  $\frac{1}{2}$√3  cm
B.  $\frac{1}{2}$√6  cm
C.  3√3  cm
D.  2√6  cm
E.  4√6  cm

Pembahasan :

Jarak B ke CE adalah BP
a = 6
BC = a = 6
BE = a√2 = 6√2
CE = a√3 = 6√3

Perhatikan Δ BCE siku-siku di B

BP = $\frac{BC\times BE}{CE}$
BP = $\frac{6\times 6\sqrt{2}}{6\sqrt{3}}$
BP = 2√6

Jawaban : D


8. UN 2014
Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan ABCD adalah persegi yang memiliki panjang AB = 4 dan TA = 6 cm. Jarak titik C ke garis AT = ...
A.  $\frac{1}{14}$√14  cm
B.  $\frac{2}{3}$√14  cm
C.  $\frac{3}{4}$√14  cm
D.  $\frac{4}{3}$√14  cm
E.  $\frac{3}{2}$√14  cm

Pembahasan :

Jarak C ke AT adalah CP
AT = CT = 6
AC = 4√2

Perhatikan  Δ ACT

AP = $\frac{A{T}^2+A{C}^2-C{T}^2}{2\times AT}$
AP = $\frac{6^2+{\left(4\sqrt{2}\right)}^2-6^2}{2\times 6}$
AP = $\frac{8}{3}$

Perhatikan Δ APC siku-siku di P
CP = $\sqrt{A{C}^2-A{P}^2}$
CP = $\sqrt{{\left(4\sqrt{2}\right)}^2-{\left(\frac{8}{3}\right)}^2}$
CP = $\frac{4}{3}\sqrt{14}$

Jawaban : D


9. UN 2004
Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm. Jika S adalah titik potong EG dan FH, maka jarak DH ke AS adalah ... cm.
A.  2√3
B.  4
C.  3√2
D.  2√6
E.  6

Pembahasan :

Jarak DH ke AS adalah HS, karena HS tegak lurus terhadap DH dan AS.
rusuk = a = 6
HF = a√2 = 6√2
HS = $\frac{1}{2}$. HF
HS = $\frac{1}{2}$. 6√2
HS = 3√2

Jawaban : C


10. UN 2007
Diketahui sebuah kubus ABCD. EFGH. Besar sudut yang dibentuk oleh garis BG dengan BDHF adalah ...
A.  90°
B.  60°
C.  45°
D.  30°
E.  15°

Pembahasan :

Misalkan sudut yang dibentuk oleh BG dengan BDHF adalah β.
rusuk = a
BG = EG = a√2
PG = $\frac{1}{2}$ × EG = $\frac{a}{2}$√2

Perhatikan Δ BPG siku-siku di P
sin β = $\frac{PG}{BG}$ = $\frac{\frac{a}{2}\sqrt{2}}{a\sqrt{2}}$ = $\frac{1}{2}$

Karena sin β = $\frac{1}{2}$, maka β = 30°

Jawaban : D


11. UN 2008
Diketahui kubus dengan panjang rusuk 6 cm. Jika sudut antara diagonal AG dengan bidang alas ABCD adalah α, maka sin α adalah ...
A. $\frac{1}{2}$√3
B. $\frac{1}{2}$√2
C. $\frac{1}{3}$√3
D. $\frac{1}{2}$E. $\frac{1}{3}$√2

Pembahasan :



Sudut antara AG dengan bidang alas ABCD adalah α.
rusuk = a = 6
CG = a = 6
AG = a√3 = 6√3

Perhatikan Δ ACG siku-siku di C
sin α = $\frac{CG}{AG}$ = $\frac{6}{6\sqrt{3}}$ = $\frac{1}{3}$√3

Jawaban : C


12. UN 2009
Balok ABCD. EFGH dengan panjang AB = BC = 3 cm dan AE = 5 cm. P terletak pada AD sehingga AP : PD = 1 : 2 dan Q terletak pada EG sehingga FQ : QG = 2 : 1. Jika α adalah sudut antara PQ dengan ABCD, maka tan α adalah ...
A. $\frac{1}{2}$√5
B. $\frac{1}{10}$√10
C. $\frac{1}{2}$√10
D. $\frac{1}{7}$√14
E. $\frac{1}{7}$√35

Pembahasan :



Sudut antara PQ dengan ABCD adalah α.
QR = 5
PS = 3
BS = SR = RC = 1
PR = $\sqrt{P{S}^2+S{R}^2}=\sqrt{3^2+1^2}$
PR = $\sqrt{10}$

Perhatikan Δ PQR siku-siku di R
tan α = $\frac{QR}{PR}$ = $\frac{5}{\sqrt{10}}$ = $\frac{1}{2}\sqrt{10}$

Jawaban : C


13. UN 2012
Diketahui limas segi empat beraturan P.QRST, dengan rusuk alas 3 cm dan rusuk tegak 3√2 cm. Tangan sudut antara garis PT dan alas QRST adalah ...
A. $\frac{1}{3}$√3
B. √2
C. √3
D. 2√2
E. 2√3

Pembahasan :



Misalkan sudut antara garis PT dan alas QRST adalah θ.
QR = RS = ST = QT = 3
PQ = PR = PS = PT = 3√2
RT = a√2 = 3√2

Perhatikan bahwa PRT adalah segitiga sama sisi karena
PR = RT = PT = 3√2
sehingga θ = 60°
tan θ = tan 60° = √3

Jawaban : C


14. UN 2013
Pada kubus ABCD. EFGH sudut θ adalah sudut antara bidang BDE dengan bidang ABCD. Nilai dari sin θ adalah ...
A. $\frac{1}{4}$√3
B. $\frac{1}{2}$√3
C. $\frac{1}{3}$√6
D. $\frac{1}{2}$√2
E. $\frac{1}{3}$√3

Pembahasan :



Sudut antara bidang BDE dengan bidang ABCD adalah θ.
misalkan rusuk = a
AE = a
EO = $\frac{a}{2}$√6

Perhatikan Δ AOE siku-siku di A
sin θ = $\frac{AE}{EO}$ =$\frac{a}{\frac{a}{2}\sqrt{6}}$ = $\frac{2}{\sqrt{6}}$ = $\frac{1}{3}$√6

Jawaban : C


15. UN 2014
Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah α. Nilai sin α adalah ...
A. $\frac{1}{2}$√2
B. $\frac{1}{2}$√3
C. $\frac{1}{3}$√3
D. $\frac{2}{3}$√2
E. $\frac{3}{4}$√3

Pembahasan :



Sudut antara AE dan bidang AFH adalah α
rusuk = a = 4
EG = a√2 = 4√2
EO = $\frac{1}{2}$ × EG = 2√2
AO = $\frac{a}{2}$√6 = 2√6

Perhatikan Δ AEO siku-siku di E
sin α = $\frac{EO}{AO}$ = $\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$ = $\frac{1}{3}$√3

Jawaban : C


16. UN 2007
Diketahui bidang 4 beraturan ABCD dengan panjang rusuk 8 cm. Kosinus sudut antara bidang ABC dan bidang ABD adalah ...
A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{1}{3}$√3
D. $\frac{2}{3}$
E. $\frac{1}{2}$√3

Pembahasan :



Misalkan sudut antara bidang ABC dan ABD adalah θ.

Karena bangun diatas merupakan bidang empat beraturan, pastilah ke-4 bidangnya merupakan segitiga sama sisi.
rusuk (a) = 8
DC = a = 8
PC = PD = $\frac{a}{2}$√3 = 4√3

Perhatikan Δ PCD, dengan aturan cosinus diperoleh :
cos θ = $\frac{P{C}^2+P{D}^2-D{C}^2}{2\times PC\times PD}$
cos θ = $\frac{{\left(4\sqrt{3}\right)}^2+{\left(4\sqrt{3}\right)}^2-8^2}{2\times 4\sqrt{3}\times 4\sqrt{3}}$
cos θ = $\frac{1}{3}$

Jawaban : A


17. UN 2015
Kubus ABCD. EFGH dengan rusuk 12 cm, tangen sudut antara bidang AFH dengan bidang CFH adalah...
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{2}$√2
C. $\frac{2}{3}$√2
D. √2
E. 2√2

Pembahasan :



Misalkan sudut antara bidang AFH dan CFH adalah θ.

Perhatikan segitiga ACP
AP = CP = $\frac{a}{2}$√6 = $\frac{12}{2}$√6 = 6√6
AC = a√2 = 12√2

Dengan aturan cosinus
Cos θ = $\frac{A{P}^2+C{P}^2-A{C}^2}{2.AP.CP}$
Cos θ = $\frac{(6\sqrt{6}{)}^2+(6\sqrt{6}{)}^2-(12\sqrt{2}{)}^2}{2.6\sqrt{6}.6\sqrt{6}}$
Cos θ = $\frac{216+216-288}{432}$
Cos θ = $\frac{1}{3}$

Cos θ = $\frac{1}{3}$
sisi samping = 1
sisi miring = 3
sisi depan = $\sqrt{3^2-1^2}$ = √8 = 2√2
tan θ = $\frac{depan}{samping}$ = $\frac{2\sqrt{2}}{1}$ = 2√2

Jadi, tangen sudut antara bidang AFH dan CFH adalah 2√2.

Jawaban : E

18. UN 2015
Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik M adalah titik tengah AB. Jarak titik E ke CM sama dengan...
A. $\frac{4}{5}$√30 cm
B. $\frac{2}{3}$√30 cm
C. 2√5 cm
D. 2√3 cm
E. 2√2 cm

Pembahasan :



CM = EM = $\frac{a}{2}$√5 = $\frac{4}{2}$√5 = 2√5
CE = a√3 = 4√3
MN = a√2 = 4√2
Karena MN dan CE berpotongan tegak lurus dan sama besar di titik Q, maka
MQ = $\frac{1}{2}$×MN = 2√2

Perhatikan segitiga CEM, ∠M adalah sudut tumpul karena CE2 > CM2 + EM2, sehingga jarak titik E ke CM adalah jarak dari titik E ke perpanjangan CM yaitu EP.

Dengan menggunakan rumus luas segitiga pada segitiga CEM akan diperoleh persamaan sebagai berikut :
$\frac{1}{2}$×CM×EP = $\frac{1}{2}$×CE×MQ
CM × EP = CE × MQ
2√5 × EP = 4√3 × 2√2 (kali √5)
10 × EP = 8√30
EP = $\frac{4}{5}$√30

Jawaban : A


RALAT : 10/8/2017
Yang ditanyakan adalah jarak titik E ke CM, bukan jarak titik E ke perpanjangan CM.
CM adalah ruas garis, dengan titik-titik ujungnya C dan M. Jadi, jarak titik E ke CM adalah jarak terdekat dari titik E ke ruas garis CM, yaitu EM = 2√5 (C)

19. UN 2016
Diketahui kubus ABCD EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik E ke garis FD adalah...
A. $\frac{8}{3}$√2 cm
B. $\frac{8}{3}$√3 cm
C. $\frac{8}{3}$√6 cm
D. $\frac{10}{3}$√6 cm
E. 4√6 cm

Pembahasan :



Jarak titik E ke garis FD adalah EP.

Perhatikan segitiga DEF siku-siku di E
EF = 8
DE = 8√2
DF = 8√3



EP = $\frac{DE\times EF}{DF}$
EP = $\frac{8\sqrt{2}\times 8}{8\sqrt{3}}$
EP = $\frac{8}{3}$√6

Jawaban : C


20. UN 2016
Diketahui kubus ABCD EFGH dengan AB = 16 cm. Nilai sinus sudut antara garis AH dengan bidang BDHF adalah...
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{3}$√3
C. $\frac{1}{2}$√2
D. $\frac{1}{2}$√3
E. $\frac{1}{3}$√6

Pembahasan :



Misalkan sudut yang dibentuk oleh AH dengan BDHF adalah θ.
rusuk = a = 16 cm
AH = AC = a√2 = 16√2
AP = $\frac{1}{2}$×AC = 8√2

Perhatikan Δ AHP siku-siku di P
sin θ = $\frac{AP}{AH}$ = $\frac{8\sqrt{2}}{16\sqrt{2}}$ = $\frac{1}{2}$

Jawaban : A

UPDATE 21/10/17

Untuk Ujian Nasional matematika IPA tahun 2017, materi dimensi tiga dikeluarkan sebanyak 4 soal dalam satu paket.

21. UN 2017
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuknya 6 cm. Jika α adalah sudut antara bidang AFH dan bidang BDHF, nilai sin α = ...
A.  1/2
B.  1/3 √3
C.  1/2 √2
D.  1/2 √3
E.  2/3 √2

Pembahasan :

AC = a√2 = 6√2
AP =  $\frac{1}{2}$. AC = 3√2
AO = $\frac{a}{2}$√6 = 3√6

Perhatikan segitiga AOP siku-siku di P.
sin α = $\frac{AP}{AO}$ = $\frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{6}}$ = $\frac{1}{3}$√3

Jawaban : B


22. UN 2017
Diketahui kubus KLMN.OPQR dengan panjang rusuknya 6 cm. Jarak titik M ke bidang LNQ adalah ...
A.  2√2  cm
B.  2√3  cm
C.  3√2  cm
D.  3√3  cm
E.  4√3  cm

Pembahasan :
Jarak M ke LNQ = jarak M ke QS, yaitu MT.

SM = $\frac{1}{2}$. KM = 3√2
MQ = 6
SQ = $\frac{a}{2}$√6 = 3√6

Perhatikan segitiga SMQ siku-siku di M. Pada segitiga siku-siku, jarak dari titik sudut siku-siku ke sisi miringnya adalah hasil kali dari kedua sisi siku-siku dibagi sisi miring.
Jadi, MT = $\frac{SM\cdot MQ}{SQ}$ = $\frac{6\cdot 3\sqrt{2}}{3\sqrt{6}}$ = 2√3

atau

MT = $\frac{1}{3}$. MO = $\frac{1}{3}$. 6√3 = 2√3

Jawaban : B


23. UN 2017
Diketahui limas beraturan T.ABCD. Panjang rusuk tegak dan panjang rusuk alas 4 cm. Jarak titik A ke TB adalah ...
A.  2√2  cm
B.  2√3  cm
C.  4  cm
D.  4√2  cm
E.  4√3  cm

Pembahasan :
Jadi, jarak titik A ke TB adalah AP.

Perhatikan segitiga sama sisi ABT dengan panjang sisinya 4 cm. Pada segitiga sama sisi yang panjang sisinya a, jarak dari titik sudut ke sisi di depannya adalah $\frac{a}{2}$√3.

Jadi, jarak titik A ke TB adalah
AP = $\frac{4}{2}$√3 = 2√3

Jawaban : B



24. UN 2017
Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk tegak 6√2 cm dan panjang rusuk alas 6 cm. Jarak titik A ke TC adalah ...
A.  2√2  cm
B.  2√3  cm
C.  3√2  cm
D.  3√3  cm
E.  3√6  cm

Pembahasan :
Jarak titik A ke TC adalah AP.

AC = a√2 = 6√2
Karena AC = TC = AT, maka ACT adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi 6√2.

Jadi, AP = $\frac{6\sqrt{2}}{2}$√3 = 3√6

Jawaban : E


25. UN 2017
Diketahui limas alas segiempat beraturan T.ABCD. Panjang rusuk tegak = rusuk alas = 4 cm. Sudut antara garis TA dan bidang alas ABCD adalah ...
A.  15°
B.  30°
C.  45°
D.  60°
E.  90°

Pembahasan :
Misalkan sudut antara garis TA dan bidang alas ABCD adalah α.

AC = 4√2
AO = $\frac{1}{2}$. AC = 2√2
AT = 4

Perhatikan segitiga AOT siku-siku di O.
cos α = $\frac{AO}{AT}$ = $\frac{2\sqrt{2}}{4}$ = $\frac{1}{2}$√2
Karena cos α = $\frac{1}{2}$√2 maka α = 45°

Jawaban : C


26. UN 2017
Diketahui limas segienam beraturan T.ABCDEF rusuk alasnya 6 cm dan tinggi limas 6√3 cm. Nilai sinus sudut antara rusuk tegak dan bidang alas limas adalah ...
A.  1/3 √2
B.  1/2
C.  1/3 √3
D.  1/2 √2
E.  1/2 √3

Pembahasan :
Misalkan sudut antara rusuk tegak dengan bidang alas adalah α.

Perhatikan segitiga COT siku-siku di O.
CT = $\sqrt{{\left(CO\right)}^2+{\left(OT\right)}^2}$
CT = $\sqrt{{\left(6\right)}^2+{\left(6\sqrt{3}\right)}^2}$
CT = 12

sin α = $\frac{OT}{CT}$ = $\frac{6\sqrt{3}}{12}$ = $\frac{1}{2}$√3

atau

tan α = $\frac{OT}{CO}$ = $\frac{6\sqrt{3}}{6}$ = √3
Karena tan α = √3, maka α = 60°
Jadi, sin α = sin 60° = $\frac{1}{2}$√3

Jawaban : E


27. UN 2017
Diketahui kubus ABCD.EFGH, panjang rusuknya 12 cm dan α adalah sudut antara bidang BDG dan ABCD. Nila sin α adalah ...
A.  1/6 √6
B.  1/3 √3
C.  1/2 √2
D.  1/3 √6
E.  1/2 √3

Pembahasan :

CG = a = 12
OG = $\frac{a}{2}$√6 = 6√6

Perhatikan segitiga OCG siku-siku di C.
sin α = $\frac{CG}{OG}$ = $\frac{12}{6\sqrt{6}}$ = $\frac{1}{3}$√6

Jawaban : D