Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) SMA bidang studi Matematika IPA untuk materi pembahasan Integral Fungsi Aljabar yang meliputi integral tentu, integral tak tentu dan integral substitusi dari fungsi-fungsi aljabar.
Rumus-rumus integral yang digunakan :
1. ∫ axn dx = an+1xn+1 + C
2. ∫ (ax + b)n dx = 1a(n+1)(ax + b)n+1 + C
3. ∫ f(x).g(x)n dx = kn+1 g(x)n+1 + C
dengan k = f(x)g′(x) dan k konstan.
1. UN 2005
1. ∫ axn dx = an+1xn+1 + C
2. ∫ (ax + b)n dx = 1a(n+1)(ax + b)n+1 + C
3. ∫ f(x).g(x)n dx = kn+1 g(x)n+1 + C
dengan k = f(x)g′(x) dan k konstan.
1. UN 2005
Hasil dari ∫103x√3x2+1dx=...
A. 72
B. 83
D. 43
E. 23
Pembahasan :
∫ 3x(3x2 + 1)12 dx
n = 12
k = 3x6x = 12
⇒ kn+1 g(x)n+1 + C
⇒ 1212+1 (3x2 + 1)12+1 + C
⇒ 13(3x2 + 1)32 + C
Untuk batas x = 0 sampai x = 1
⇒ 13(3.12 + 1)32 − 13(3.02 + 1)32
⇒ 83 − 13 = 73
Jawaban : C
2. UN 2007
Diketahui ∫3a (3x2 + 2x + 1) dx = 25. Nilai 12a=...
A. −4
B. −2
C. −1
D. 1
E. 2
Pembahasan :
∫3a (3x2 + 2x + 1) dx = 25
⇔ [x3 + x2 + x]3a = 25
⇔ (33 + 32 + 3) − (a3 + a2 + a) = 25
⇔ a3 + a2 + a − 14 = 0
Nilai a yang mungkin adalah faktor dari −14, yaitu :
±1, ±2, ±7, ±14.
Nilai a yang memenuhi adalah a = 2 karena
23 + 22 + 2 − 14 = 0
Jadi, 12a = 12. 2 = 1
Jawaban : D
3. UN 2008
Hasil dari ∫412x√xdx=...
A. −12
B. −4
C. −3
D. 2
E. 32
Pembahasan :
⇒ ∫41 2x−32 dx
= [2−32+1x−32+1]41
= [−4x−12]41
= [−4√x]41
= −4√4−−4√1
= −2 − (−4)
= 2
Jawaban : D
4. UN 2009
Hasil dari ∫ (2x − 1)(x2 − x + 3)3 dx = ...
A. 13(x2 − x + 3)3 + C
B. 14(x2 − x + 3)3 + C
C. 14(x2 − x + 3)4 + C
D. 12(x2 − x + 3)4 + C
E. (x2 − x + 3)4 + C
Pembahasan :
∫ (2x − 1)(x2 − x + 3)3 dx
n = 3
k = 2x−12x−1 = 1
⇒ kn+1 g(x)n+1 + C
⇒ 13+1(x2 − x + 3)3+1 + C
⇒ 14(x2 − x + 3)4 + C
Jawaban : C
5. UN 2009
Diketahui ∫a1 (2x − 3) dx = 12 dan a > 0. Nilai a = ...
A. 2
B. 3
C. 5
D. 7
E. 10
Pembahasan :
∫a1 (2x − 3) dx = 12
⇔ [x2 − 3x]a1 = 12
⇔ (a2 − 3a) − (12 − 3.1) = 12
⇔ a2 − 3a − 10 = 0
Nilai a yang mungkin adalah faktor dari −10, yaitu :
±1, ±2, ±5, ±10.
Nilai a yang memenuhi adalah a = 5 karena
52 − 3.5 − 10 = 0
Jawaban : C
6. UN 2009
Hasil dari ∫ (6x2 − 4x)√x3−x2−1 dx = ...
A. 233√(x3−x2−1)2+C
B. 23√(x3−x2−1)3+C
C. 43√(x3−x2−1)3+C
D. 433√(x3−x2−1)2+C
E. 23√(x3−x2−1)2+C
Pembahasan :
∫ (6x2 − 4x)(x3 − x2 − 1)12 dx
n = 12
k = 6x2−4x3x2−2x = 2(3x2−2x)3x2−2x = 2
⇒ kn+1 g(x)n+1 + C
⇒ 212+1(x3 − x2 − 1)12+1 + C
⇒ 43(x3 − x2 − 1)32 + C
⇒ 43√(x3−x2−1)3+C
Jawaban : C
7. UN 2009
Diketahui ∫p1 (x − 1)2 dx = 223. Nilai p yang memenuhi adalah...
A. 1
B. 113
C. 3
D. 6
E. 9
Pembahasan :
∫p1 (x − 1)2 dx = 83
⇔ [11(2+1)(x−1)2+1]p1 = 83
⇔ [13(x−1)3]p1 = 83
⇔ 13(p − 1)3 − 13(1 − 1)3 = 83
⇔ 13(p − 1)3 = 83
⇔ (p − 1)3 = 8
⇔ (p − 1)3 = 23
⇔ p − 1 = 2
⇔ p = 3
Jawaban : C
8. UN 2010
Nilai dari ∫3−12x(3x + 4) dx = ...
A. 88
B. 84
C. 56
D. 48
E. 46
Pembahasan :
∫3−12x(3x + 4) dx
⇒ ∫3−1(6x2 + 8x) dx
= [2x3+4x2]3−1
= (2.33 + 4.32) − (2(−1)3 + 4(−1)2)
= 90 − 2
= 88
Jawaban : A
9. UN 2011
Hasil ∫42(−x2 + 6x − 8) dx = ...
A. 383
B. 263
C. 203
D. 163
E. 43
Pembahasan :
∫42(−x2 + 6x − 8) dx
= [−13x3+3x2−8x]42
= (−13.43 + 3.42 − 8.4) − (−13.23 + 3.22 − 8.2)
= 43
Jawaban : E
10. UN 2011
Hasil ∫2x+3√3x2+9x−1dx=...
A. 2√3x2+9x−1+C
B. 13√3x2+9x−1+C
C. 23√3x2+9x−1+C
D. 12√3x2+9x−1+C
E. 32√3x2+9x−1+C
Pembahasan :
∫ (2x + 3)(3x2 + 9x − 1)−12 dx
n = −12
k = 2x+36x+9 = 2x+33(2x+3) = 13
⇒ kn+1 g(x)n+1 + C
⇒ 13−12+1(3x2 + 9x − 1)−12+1 + C
⇒ 23(3x2 + 9x − 1)12 + C
⇒ 23√(3x2+9x−1)+C
Jawaban : C
11. UN 2012
Hasil dari ∫3x√3x2+1dx=...
A. −23(3x2+1)√3x2+1+C
B. −12(3x2+1)√3x2+1+C
C. 13(3x2+1)√3x2+1+C
D. 12(3x2+1)√3x2+1+C
E. 23(3x2+1)√3x2+1+C
Pembahasan :
∫ 3x(3x2 + 1)12 dx
n = 12
k = 3x6x = 12
⇒ kn+1 g(x)n+1 + C
⇒ 1212+1 (3x2 + 1)12+1 + C
⇒ 13(3x2 + 1)32 + C
⇒ 13(3x2 + 1)√3x2+1 + C
Jawaban : C
12. UN 2012
Nilai dari ∫41(x2 − 2x + 2) dx = ...
A. 12
B. 14
C. 16
D. 18
E. 20
Pembahasan :
∫41(x2 − 2x + 2) dx
= [13x3−x2+2x]41
= (13.43 − 42 + 2.4) − (13.13 − 12 + 2.1)
= 12
Jawaban : A
13. UN 2013
Hasil dari ∫203(x + 1)( x − 6) dx = ...
A. −58
B. −56
C. −28
D. −16
E. −14
Pembahasan :
∫203(x + 1)( x − 6) dx
3∫20(x2 − 5x − 6) dx
= 3[13x3−52x2−6x]20
= 3[(13.23 − 52.22 − 6.2) − 0]
= 3. −583
= −58
Jawaban : A
14. UN 2013
Hasil dari ∫2x√x2+1dx=...
A. 13√x2+1+C
B. 12√x2+1+C
C. 2√x2+1+C
D. 3√x2+1+C
E. 6√x2+1+C
Pembahasan :
∫ 2x(x2 + 1)−12 dx
n = −12
k = 2x2x = 1
⇒ kn+1 g(x)n+1 + C
⇒ 1−12+1(x2 + 1)−12+1 + C
⇒ 2(x2 + 1)12 + C
⇒ 2√x2+1 + C
Jawaban : C
15. UN 2014
Hasil ∫ (6x − 12)√x2−4x+8 dx = ...
A. 13(x2 − 4x + 8)32 + C
B. 12(x2 − 4x + 8)32 + C
C. 23(x2 − 4x + 8)32 + C
D. (x2 − 4x + 8)32 + C
E. 2(x2 − 4x + 8)32 + C
Pembahasan :
∫ (6x − 12)(x2 − 4x + 8)12 dx
n = 12
k = 6x−122x−4 = 3(2x−4)2x−4 = 3
⇒ kn+1 g(x)n+1 + C
⇒ 312+1(x2 − 4x + 8)12+1 + C
⇒ 2(x2 − 4x + 8)32 + C
Jawaban : E
16. UN 2014
Hasil ∫10(x3 + 2x − 5) dx = ...
A. −164
B. −154
C. 0
D. 154
E. 164
Pembahasan :
∫10(x3 + 2x − 5) dx
= [14x4+x2−5x]10
= (14.14 + 12 − 5.1) − 0
= −154
Jawaban : B
17. UN 2015
Hasil ∫ 4x(4x2 − 3)4 dx = ...
A. 110(4x2 − 3)5 + C
B. 15(4x2 − 3)5 + C
C. 25(4x2 − 3)5 + C
D. (4x2 − 3)5 + C
E. 2(4x2 − 3)5 + C
Pembahasan :
∫ 4x(4x2 − 3)4 dx
n = 4
k = 4x8x = 12
⇒ kn+1 g(x)n+1 + C
⇒ 124+1(4x2 − 3)4+1 + C
⇒ 110(4x2 − 3)5 + C
Jawaban : A
18. UN 2015
Nilai dari ∫41(3√x−1√x)dx adalah...
A. 20
B. 12
C. 8
D. 4
E. 2
Pembahasan :
∫41(3x12 − x−12) dx
= [312+1x12+1−1−12+1x−12+1]41
= [2x32−2x12]41
= [2x√x−2√x]41
= (2.4√4 − 2√4) − (2.1√1 − 2√1)
= 12 − 0
= 12
Jawaban : B
19. UN 2016
Hasil dari ∫ x(3x − 5)4 dx = ...
A. −154 (1 + 3x)(3x − 5)5 + C
B. −1108 (1 − 3x)(3x − 5)5 + C
C. −1270 (1 + 3x)(3x − 5)5 + C
D. 1108 (1 − 3x)(3x − 5)5 + C
E. 154 (1 + 3x)(3x − 5)5 + C
Pembahasan :
∫ x(3x − 5)4 dx
Misalkan :
u = 3x − 5 → x = u+53
du = 3 dx → dx = du3
Substitusi :
⇒ ∫ u+53u4 du3
⇒ 19∫ (u5 +5u4) du
= 19 (16u6 + u5 ) + C
= 19 (16u + 1)u5 + C
= 19 (u+66)u5 + C
= 154 (u + 6)u5 + C
= 154 (3x − 5 + 6)(3x − 5)5 + C
= 154 (3x + 1)(3x − 5)5 + C
Jawaban : E
20. UN 2016
Nilai dari ∫2−1(3x2 + 6x − 1) dx = ...
A. 3
B. 5
C. 9
D. 15
E. 18
Pembahasan :
∫2−1(3x2 + 6x − 1) dx
= [x3+3x2−x]2−1
= (23 + 3.22 − 2) − (13 + 3.12 − 1)
= 18 −3
= 15
Jawaban : D
21. UN 2016
Hasil dari ∫6x−9√x2−3x−5dx adalah...
A. 2√x2−3x−5+C
B. 3√x2−3x−5+C
C. 6√x2−3x−5+C
D. 9√x2−3x−5+C
E. 18√x2−3x−5+C
Pembahasan :
∫ (6x − 9)(x2 − 3x − 5)−12 dx
n = −12
k = 6x−92x−3 = 3(2x−3)2x−3 = 3
⇒ kn+1 g(x)n+1 + C
⇒ 3−12+1(x2 − 3x − 5)−12+1 + C
⇒ 6(x2 − 3x − 5)12 + C
⇒ 6√x2−3x−5 + C
Hasil ∫ 4x(4x2 − 3)4 dx = ...
A. 110(4x2 − 3)5 + C
B. 15(4x2 − 3)5 + C
C. 25(4x2 − 3)5 + C
D. (4x2 − 3)5 + C
E. 2(4x2 − 3)5 + C
Pembahasan :
∫ 4x(4x2 − 3)4 dx
n = 4
k = 4x8x = 12
⇒ kn+1 g(x)n+1 + C
⇒ 124+1(4x2 − 3)4+1 + C
⇒ 110(4x2 − 3)5 + C
Jawaban : A
18. UN 2015
Nilai dari ∫41(3√x−1√x)dx adalah...
A. 20
B. 12
C. 8
D. 4
E. 2
Pembahasan :
∫41(3x12 − x−12) dx
= [312+1x12+1−1−12+1x−12+1]41
= [2x32−2x12]41
= [2x√x−2√x]41
= (2.4√4 − 2√4) − (2.1√1 − 2√1)
= 12 − 0
= 12
Jawaban : B
19. UN 2016
Hasil dari ∫ x(3x − 5)4 dx = ...
A. −154 (1 + 3x)(3x − 5)5 + C
B. −1108 (1 − 3x)(3x − 5)5 + C
C. −1270 (1 + 3x)(3x − 5)5 + C
D. 1108 (1 − 3x)(3x − 5)5 + C
E. 154 (1 + 3x)(3x − 5)5 + C
Pembahasan :
∫ x(3x − 5)4 dx
Misalkan :
u = 3x − 5 → x = u+53
du = 3 dx → dx = du3
Substitusi :
⇒ ∫ u+53u4 du3
⇒ 19∫ (u5 +5u4) du
= 19 (16u6 + u5 ) + C
= 19 (16u + 1)u5 + C
= 19 (u+66)u5 + C
= 154 (u + 6)u5 + C
= 154 (3x − 5 + 6)(3x − 5)5 + C
= 154 (3x + 1)(3x − 5)5 + C
Jawaban : E
20. UN 2016
Nilai dari ∫2−1(3x2 + 6x − 1) dx = ...
A. 3
B. 5
C. 9
D. 15
E. 18
Pembahasan :
∫2−1(3x2 + 6x − 1) dx
= [x3+3x2−x]2−1
= (23 + 3.22 − 2) − (13 + 3.12 − 1)
= 18 −3
= 15
Jawaban : D
21. UN 2016
Hasil dari ∫6x−9√x2−3x−5dx adalah...
A. 2√x2−3x−5+C
B. 3√x2−3x−5+C
C. 6√x2−3x−5+C
D. 9√x2−3x−5+C
E. 18√x2−3x−5+C
Pembahasan :
∫ (6x − 9)(x2 − 3x − 5)−12 dx
n = −12
k = 6x−92x−3 = 3(2x−3)2x−3 = 3
⇒ kn+1 g(x)n+1 + C
⇒ 3−12+1(x2 − 3x − 5)−12+1 + C
⇒ 6(x2 − 3x − 5)12 + C
⇒ 6√x2−3x−5 + C