soal dan pembahasan matematika bab turunan

Pembahasan soal Ujian Nasional (UN) bidang studi matematika IPA jenjang pendidikan SMA untuk pokok bahasan Turunan yang meliputi aturan rantai, fungsi naik dan fungsi turun, ekstrim fungsi, nilai maksimum dan minimum dalam interval tertutup.

1. EBT 2002
Ditentukan f(x) = 2x³ − 9x² + 12x. Fungsi f naik dalam interval...
A.  −1 < x < 2
B.  1 < x < 2
C.  −2 < x < −1
D.  x < −2 atau x > −1
E.  x < 1 atau x > 2

Pembahasan :
f(x) = 2x³ − 9x² + 12x
f'(x) = 6x² − 18x + 12

f(x) naik → f'(x) > 0
6x² − 18x + 12 > 0
x² − 3x + 2 > 0
(x − 1)(x − 2) = 0
x = 1 atau x = 2
Pertidaksamaan bertanda">" maka
x < 1 atau x > 2

Jawaban : E


2. EBT 2002
Nilai maksimum dari fungsi f(x) = $\frac{1}{3}$x³ − $\frac{3}{2}$x² + 2x + 9 pada interval 0 ≤ x ≤ 3 adalah...
A.  9$\frac{2}{3}$
B.  9$\frac{5}{6}$
C.  10
D.  10$\frac{1}{2}$
E.  10$\frac{2}{3}$

Pembahasan :
f(x) = $\frac{1}{3}$x³ − $\frac{3}{2}$x² + 2x + 9
f'(x) = x² − 3x + 2

Nilai maks/min berpotensi terjadi pada nilai-nilai stasioner atau nilai fungsi pada ujung-ujung interval.

f(x) stasioner → f'(x) = 0
x² − 3x + 2 = 0
(x − 1)(x − 2) = 0
x = 1 atau x = 2

Nilai stasioner :
f(1) = $\frac{1}{3}$(1)³ − $\frac{3}{2}$(1)² + 2(1) + 9 = 9$\frac{5}{6}$
f(2) = $\frac{1}{3}$(2)³ − $\frac{3}{2}$(2)² + 2(2) + 9 = 9$\frac{2}{3}$

Nilai fungsi pada ujung-ujung interval :
f(0) = $\frac{1}{3}$(0)³ − $\frac{3}{2}$(0)² + 2(0) + 9 = 9
f(3) = $\frac{1}{3}$(3)³ − $\frac{3}{2}$(3)² + 2(3) + 9 = 10$\frac{1}{2}$

Dari nilai-nilai yang diperoleh, maka nilai maksimum f(x) pada interval 0 ≤ x ≤ 3 adalah 10$\frac{1}{2}$

Jawaban : D


3. UAN 2003
Fungsi f(x) = x³ + 3x² − 9x − 7 turun pada interval...
A.  1 < x < 3
B.  −1 < x < 3
C.  −3 < x < 1
D.  x < −3 atau x > 1
E.  x < −1 atau x > 3

Pembahasan :
f(x) = x³ + 3x² − 9x − 7
f'(x) = 3x² + 6x − 9

f(x) turun → f'(x) < 0
3x² + 6x − 9 < 0
x² + 2x − 3 < 0
(x + 3)(x − 1) = 0
x = −3 atau x = 1
Pertidaksamaan bertanda "<" maka
−3 < x < 1

Jawaban : C


4. UAN 2003
Turunan pertama dari f(x) = sin²(2x−3) adalah f'(x) = ...
A.  2 cos(4x−6)
B.  2 sin(4x−6)
C.  −2 cos(4x−6)
D.  −2 sin(4x−6)
E.  4 sin(2x−3)

Pembahasan :
f(x) = sin²(2x−3)

f'(x) = 2 sin^2-1(2x−3) cos(2x−3) 2
f'(x) = 2. 2 sin(2x−3) cos(2x−3)
f'(x) = 2. sin 2(2x−3)
f'(x) = 2 sin (4x−6)

Jawaban : B


5. UN 2004
Turunan fungsi yang dinyatakan dengan f(x) = $\frac{x-5}{x+5}$ adalah f'(x) = ...
A.  $\frac{-10}{(x+5{)}^2}$
B.  $\frac{5}{(x+5{)}^2}$
C.  $\frac{10}{(x+5{)}^2}$
D.  $\frac{5}{(x-5{)}^2}$
E.  $\frac{10}{(x-5{)}^2}$

Pembahasan :
f(x) = $\frac{x-5}{x+5}$

u = x − 5 → u' = 1
v = x + 5 → v' = 1

f'(x) = $\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$
f'(x) = $\frac{1(x+5)-(x-5)1}{(x+5{)}^2}$
f'(x) = $\frac{x+5-x+5}{(x+5{)}^2}$
f'(x) = $\frac{10}{(x+5{)}^2}$

Jawaban : C


6. UN 2004
Turunan pertama dari y = cos²(2x−π) adalah y' = ...
A.  −2 sin(4x−2π)
B.  − sin(4x−2π)
C.  −2 sin(2x−π) cos(2x−π)
D.  4 sin(2x−π)
E.  4 sin(2x−π) cos(2x−π)

Pembahasan :
y = cos²(2x−π)

y' = 2 cos^2-1(2x−π) . −sin(2x−π) 2
y' = −2. 2 sin(2x−π) cos(2x−π)
y' = −2. sin 2(2x−π)
y' = −2 sin(4x−2π)

Jawaban : A


7. UN 2005
Turunan dari $f\left(x\right)=\sqrt[3]{3co{s}^2\left(3x^2+5x\right)}$ adalah f'(x) = ...
A.  $\frac{2}{3}$cos^-${}^{\frac{1}{3}}$(3x² + 5x) sin(3x² + 5x)
B.  $\frac{2}{3}$(6x+5) cos^-${}^{\frac{1}{3}}$(3x² + 5x)
C.  −$\frac{2}{3}$cos^-${}^{\frac{1}{3}}$(3x² + 5x) sin(3x² + 5x)
D.  −$\frac{2}{3}$(6x+5) tan(3x²+5x)$\sqrt[3]{3co{s}^2(3x^2+5x)}$
E.  $\frac{2}{3}$(6x+5) tan(3x²+5x)$\sqrt[3]{3co{s}^2(3x^2+5x)}$

Pembahasan :
f(x) = cos${}^{\frac{2}{3}}$(3x²+5x)

f'(x) = $\frac{2}{3}$cos^-${}^{\frac{1}{3}}$(3x²+5x). −sin(3x²+5x) (6x+5)
⇒ −$\frac{2}{3}$(6x+5) $\frac{sin\left(3x^2+5x\right)}{co{s}^{\frac{1}{3}}\left(3x^2+5x\right)}$
⇒ −$\frac{2}{3}$(6x+5) $\frac{sin\left(3x^2+5x\right)}{co{s}^{\frac{1}{3}}\left(3x^2+5x\right)}\times \frac{cos\left(3x^2+5x\right)}{cos\left(3x^2+5x\right)}$
⇒ −$\frac{2}{3}$(6x+5) $\frac{sin\left(3x^2+5x\right)}{cos\left(3x^2+5x\right)}\times \frac{cos\left(3x^2+5x\right)}{co{s}^{\frac{1}{3}}\left(3x^2+5x\right)}$
⇒ −$\frac{2}{3}$(6x+5) tan(3x²+5x) cos${}^{\frac{2}{3}}$(3x²+5x)
⇒ −$\frac{2}{3}$(6x+5) tan(3x²+5x)$\sqrt[3]{3co{s}^2(3x^2+5x)}$

Jawaban : D


8. UN 2006
Turunan pertama dari f(x) = sin⁴(3x² − 2) adalah f '(x) = ...
A.  2sin²(3x² − 2) sin(6x² − 4)
B.  12x sin²(3x² − 2) sin(6x² − 4)
C.  12x sin²(3x² − 2) cos(6x² − 4)
D.  24x sin³(3x² − 2) cos²(3x² − 2)
E.  24x sin³(3x² − 2) cos(3x² − 2)

Pembahasan :
f(x) = sin⁴(3x² − 2)

f'(x) = 4 sin^4-1(3x² − 2) cos(3x² − 2) 6x
f'(x) = 24x sin³(3x² − 2) cos(3x² − 2)

Jawaban : E


9. UN 2007
Jika f(x) = sin²(2x + $\frac{\pi }{6}$), maka nilai dari f'(0) = ...
A.  2√3
B.  2
C.  √3
D.  $\frac{1}{2}$√3
E.  $\frac{1}{2}$√2

Pembahasan :
f(x) = sin²(2x + $\frac{\pi }{6}$)

f'(x) = 2 sin^2-1(2x + $\frac{\pi }{6}$) cos(2x + $\frac{\pi }{6}$) 2
f'(x) = 4 sin(2x + $\frac{\pi }{6}$) cos(2x + $\frac{\pi }{6}$)
f'(0) = 4 sin(2(0) + $\frac{\pi }{6}$) cos(2(0) + $\frac{\pi }{6}$)
f'(0) = 4 sin $\frac{\pi }{6}$ cos $\frac{\pi }{6}$
f'(0) = 4. $\frac{1}{2}$. $\frac{1}{2}$√3
f'(0) = √3

Jawaban : C


10. UN 2008
Turunan pertama dari $y=\frac{sinx}{sinx+cosx}$ adalah y' = ...
A.  $\frac{cosx}{{\left(sinx+cosx\right)}^2}$
B.  $\frac{1}{{\left(sinx+cosx\right)}^2}$
C.  $\frac{2}{{\left(sinx+cosx\right)}^2}$
D.  $\frac{sinx-cosx}{{\left(sinx+cosx\right)}^2}$
E.  $\frac{2sincosx}{{\left(sinx+cosx\right)}^2}$

Pembahasan :
u = sin x → u' = cos x
v = sin x + cos x → v' = cos x − sin x

y' = $\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$
y' = $\frac{cosx\left(sinx+cosx\right)-sinx\left(cosx-sinx\right)}{{\left(sinx+cosx\right)}^2}$
y' = $\frac{cosxsinx+co{s}^{2}x-cosxsinx+si{n}^{2}x}{{\left(sinx+cosx\right)}^2}$
y' = $\frac{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}{{\left(sinx+cosx\right)}^2}$
y' = $\frac{1}{{\left(sinx+cosx\right)}^2}$

Jawaban : B


11. UN 2008
Diketahui f(x) = $\frac{x^2+3}{2x+1}$. Jika f'(x) menyatakan turunan pertama f(x), maka f(0) + 2 f'(0) = ...
A.  −10
B.  −9
C.  −7
D.  −5
E.  −3

Pembahasan :
f(x) = $\frac{x^2+3}{2x+1}$
f(0) = $\frac{0^2+3}{2.0+1}$
f(0) = 3

u = x² + 3 → u' = 2x
v = 2x + 1 → v' = 2

f'(x) = $\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$
f'(x) = $\frac{2x(2x+1)-(x^2+3)2}{(2x+1{)}^2}$
f'(x) = $\frac{4x^2+2x-2x^2-6}{(2x+1{)}^2}$
f'(x) = $\frac{2x^2+2x-6}{{\left(2x+1\right)}^2}$
f'(0) = $\frac{2(0{)}^2+2(0)-6}{\left(2\right(0)+1{)}^2}$
f'(0) = −6

Jadi, f(0) + 2 f'(0) = 3 + 2(−6) = −9

Jawaban : B


12. UN 2014
Diketahui $g\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-A^{2}x+1$ ; $f\left(x\right)=g(2x-1)$, A suatu kontanta. Jika f naik pada $x\le 0$ atau $x\ge 1$, nilai maksimum relatif g adalah...
A.  $\frac{7}{3}$
B.  $\frac{5}{3}$
C.  $\frac{1}{3}$
D.  $-\frac{1}{3}$
E.  $-\frac{5}{3}$

Pembahasan :
g(x) = $\frac{1}{3}$x³ − A²x + 1
f(x) = g(2x − 1)
f(x) = $\frac{1}{3}$(2x − 1)³ − A²(2x − 1) + 1
f(x) = $\frac{1}{3}$(2x − 1)³ − 2A²x + A² + 1

f'(x) = $\frac{1}{3}$. 3(2x − 1)^3-1. 2 − 2A²
f'(x) = 2(2x − 1)² − 2A²
f'(x) = 8x² − 8x + 2 − 2A²

Karena f(x) naik pada x ≤ 0 atau x ≥ 1, maka 0 dan 1 adalah akar-akar dari f'(x) = 0.
x₁ x₂ = $\frac{c}{a}$
0. 1 = $\frac{2-2A^2}{8}$
0 = 2 − 2A²
A² = 1

diperoleh
g(x) = $\frac{1}{3}$x³ − x + 1
g'(x) = x² − 1
g''(x) = 2x

Jika g'(a) = 0, maka nilai maks/min relatif fungsi g akan terjadi pada x = a.
g'(x) = 0
x² − 1 = 0
(x + 1)(x − 1) = 0
x = −1 atau x = 1

Uji turunan kedua
g''(a) < 0, maka g(x) mencapai maksimum relatif pada x = a.
g''(a) > 0, maka g(x) mencapai minimum relatif pada x = a.

g''(−1) = 2(−1) = −2 < 0
g''(1) = 2(1) = 2 > 0

Karena g''(−1) < 0, maka nilai maksimum relatif g dicapai pada x = −1
g(−1) = $\frac{1}{3}$(−1)³ − (−1) + 1
g(−1) = $\frac{5}{3}$

Jawaban : B

13. UN 2016
Turunan pertama fungsi f(x) = cos²(3x−5) adalah...
A.  f'(x) = −6 cos (3x−5)
B.  f'(x) = −3 sin (3x−5)
C.  f'(x) = −3 sin (6x−10)
D.  f'(x) = 3 cos (6x−10)
E.  f'(x) = 3 sin (6x−10)

Pembahasan :
f(x) = cos²(3x−5)

f'(x) = 2 cos^2-1(3x−5). −sin(3x−5) 3
f'(x) = −3. 2 sin(3x−5) cos(3x−5)
f'(x) = −3 sin 2(3x−5)
f'(x) = −3 sin (6x−10)

Jawaban : C


14. UN 2016
Turunan pertama dari fungsi f(x) = cos⁵(π−2x) adalah...
A.  f'(x) = 5 cos³(π−2x) sin (2π−4x)
B.  f'(x) = 5 cos³(π−2x) sin (π−2x)
C.  f'(x) = 5 cos³(π−2x) cos (2π−4x)
D.  f'(x) = −5 cos³(π−2x) sin (2π−4x)
E.  f'(x) = −5 cos³(π−2x) sin (π−2x)

Pembahasan :
f(x) = cos⁵(π−2x)

f'(x) = 5 cos^5-1(π−2x). −sin(π−2x) (−2)
f'(x) = 5. 2 cos⁴(π−2x) sin(π−2x)
f'(x) = 5 cos³(π−2x) 2 sin(π−2x) cos(π−2x)
f'(x) = 5 cos³(π−2x) sin 2(π−2x)
f'(x) = 5 cos³(π−2x) sin (2π−4x)

Jawaban : A