Sebelum saya menunjukkan kepada Anda contoh-contoh saya, saya akan memberi Anda gambaran singkat tentang keadaan pendidikan matematika pada 1960-an dan 1970-an di Amerika Serikat. Peluncuran satelit Sputnik oleh Rusia pada tanggal 4 Oktober 1957 menyebabkan kepanikan nasional yang menyebabkan revisi lengkap kurikulum matematika dan sains. Kurikulum matematika yang direvisi disebut "matematika baru" yang didasarkan pada saran dari ahli matematika penelitian universitas dan ahli matematika profesional lainnya; tidak atas saran dari pendidik matematika yang bijak dan berpengalaman. Matematika baru menekankan teori himpunan, sifat dasar bilangan real, fungsi, hubungan, dan simbol matematika abstrak modern. Matematika baru mendekati matematika dari sudut pandang yang lebih ketat dan abstrak sebagai lawan dari sudut pandang intuitif dan praktis. Siswa dan orang tua menganggap matematika baru itu aneh dan membingungkan. Seperti kebanyakan gelombang baru dalam pendidikan, matematika baru akhirnya digantikan oleh gelombang baru lainnya. Saya ingat dengan jelas seorang pendidik matematika yang terkenal secara nasional di konvensi nasional NCTM di negara bagian 1980an (hampir kata demi kata), “Penelitian kami menunjukkan bahwa pendekatan abstrak yang lebih ketat dalam mengajar matematika hanya bekerja dengan siswa yang sangat cerdas.” Tentu saja, setiap orang yang berpengalaman guru matematika di antara hadirin sudah mengetahui hal ini. Matematika baru gagal karena Anda tidak dapat membuat abstraksi (mengidentifikasi properti inti umum dari berbagai objek / sistem) jika Anda tidak memiliki basis pengetahuan dan pengalaman untuk membuat abstraksi. Karena sekolah dasar, sekolah menengah, siswa sekolah menengah, dan orang dewasa normal tidak memiliki basis pengetahuan dan pengalaman yang krusial ini, seharusnya tidak mengejutkan bahwa matematika baru gagal. Pada awal 1980-an, pendidikan matematika mulai bergerak ke arah yang baru.
Contoh pertama saya diambil dari buku Mengapa Johnny Tidak Dapat Menambahkan: Kegagalan Matematika Baru yang ditulis oleh Morris Kline (1908-1992) yang adalah seorang ilmuwan dan profesor matematika di NYU. Salah satu keyakinan inti Profesor Kline adalah bahwa konsep matematika harus dijelaskan dengan menggunakan contoh konkret yang dapat dihubungkan dengan siswa. Contoh di bawah ini mirip dengan contoh Kline yang digunakan untuk menjelaskan aturan produk untuk angka positif dan negatif.
Misalkan pemilik rumah, Bob mempekerjakan bocah tetangga, Bill, untuk melakukan pekerjaan umum di rumah dengan harga $ 10,00 / jam. Kami memiliki empat situasi untuk dipertimbangkan; dua dari sudut pandang Bob dan dua dari sudut pandang Bill. Bill mendapat $ 10 setiap jam dia bekerja dan Bob kehilangan $ 10 setiap jam setiap jam Bill bekerja.4 jam di masa depan, Bill akan menjadi $ 40 lebih kaya. (+4 * +10 = +40)
4 jam yang lalu, Bill lebih miskin $ 40. (-4 * (+10) = -40)
4 jam di masa depan, Bob akan menjadi $ 40 lebih miskin. (+4 * (-10) = -40)
4 jam yang lalu, Bob lebih kaya $ 40. (-4 * (-10) = +40)
Contoh berikutnya melibatkan pembuatan film seseorang berjalan maju dengan kecepatan 4 kaki / detik selama 10 detik, dan kemudian merekam orang yang sama berjalan mundur dengan kecepatan 4 kaki / detik selama 10 detik. Dengan menjalankan dua film maju dan mundur dalam proyektor film, kami memiliki empat kasus untuk dipertimbangkan. Biarkan film A menunjukkan orang berjalan ke depan, dan film B menunjukkan orang berjalan mundur. (Sangat menyenangkan untuk mondar-mandir melintasi ruangan untuk menggambarkan contoh ini.)
Jika film A berjalan maju dalam proyektor selama 10 detik, kita akan melihat orang tersebut berjalan maju 40 kaki (+4 * +10 = +40)
Jika film A dijalankan mundur dalam proyektor selama 10 detik, kita akan melihat orang berjalan mundur 40 kaki (4 * (-10)) = -40)
Jika film B berjalan maju dalam proyektor selama 10 detik, kita akan melihat orang berjalan mundur 40 kaki (-4 * 10 = -40)
Jika film B dijalankan mundur dalam proyektor selama 10 detik, kita akan melihat orang berjalan maju 40 kaki (-4 * (-10)) = 40)
Contoh berikutnya mungkin akrab bagi banyak pembaca. Dari pengalaman pribadi saya, beberapa siswa menemukan dua contoh sebelumnya agak membingungkan, tetapi pendekatan pola yang digambarkan dalam kotak teks di bawah ini tampaknya paling masuk akal bagi siswa. 4 baris pertama dari tabel mengikuti dari fakta bahwa produk dari angka positif dan angka negatif adalah angka negatif yang masuk akal bagi kebanyakan siswa. Karena nilai angka dalam kolom A berkurang sebesar 1, produk A dan B menjadi lebih besar dengan 5. Ketika A menurun dari 0 menjadi -1, saya memberi tahu oleh siswa bahwa mereka tidak dapat mengganti kuda di tengah sungai; jadi pola harus dipertahankan dengan meningkatkan produk sebesar 5 ketika A berkurang sebesar 1.
Contoh berikutnya bergantung pada gagasan bahwa perkalian diulangi di bawah aturan berikut: (Aturan lebih mudah dipahami jika m dan n adalah bilangan bulat.)
Jika m positif, maka m * n sama dengan n ditambahkan ke dirinya sendiri m kali.
Jika m negatif, maka m * n sama dengan kebalikan dari n yang ditambahkan ke dirinya | m | waktu.
Kotak teks di bawah ini menggambarkan cara kerja aturan ini kemudian n = ± 4 dan m = ± 6.
Contoh terakhir saya menggunakan properti bilangan real dan penalaran matematis untuk menunjukkan (-3) (- 5) sama dengan (3) (5) = 15. Demonstrasi bergantung pada properti bilangan real berikut:
Angka negatif dikali angka positif adalah negatif. (Sebelumnya didirikan)
m + n = 0 jika dan hanya jika m dan n saling bertentangan.
Karena demonstrasi ini membutuhkan tingkat kematangan matematika yang lebih tinggi, saya menyarankan agar tidak menunjukkan demonstrasi ini kepada pelajar yang lebih muda.
Saya akan menutup posting ini dengan diskusi tentang konsep angka positif dan negatif dengan melihat dua sistem angka yang berbeda. Anda mungkin terkejut mengetahui bahwa dalam beberapa sistem bilangan, konsep bilangan positif dan negatif tidak ada. Posting saya, Cara Sederhana untuk Memperkenalkan Angka Kompleks, membahas dasar-dasar angka kompleks.
Untuk setiap bilangan real x: x = 0, x <0, atau x> 0.
Setiap bilangan real x tidak sama dengan nol memiliki kebalikan unik yang dilambangkan dengan simbol –x.
Kebalikan dari bilangan real sama dengan kebalikan aditif dari bilangan real.
Bilangan real x dan y saling bertentangan jika dan hanya jika x + y = 0.
Jika x> 0, maka x adalah angka positif dan –x adalah angka negatif.
Jika x <0, maka x adalah angka negatif dan –x adalah angka positif.
Arah sudut semua angka positif adalah ke kanan atau 00.
Arah sudut semua angka negatif adalah ke kiri atau 1800.
Untuk semua bilangan real x dan y, x * y = (-x) (- y). Catatan: Ini berlaku untuk setiap pasangan bilangan real. Ekspresi (-x) * (- y) tidak menunjukkan kita mengalikan dua bilangan real negatif.
Simbol –x berarti kebalikan dari x; bukan negatif x.
Semua bilangan kompleks z dapat diekspresikan dalam bentuk z = a + bi di mana a dan b adalah bilangan real dan i adalah bilangan imajiner satuan sehingga i2 = -1.
Setiap bilangan kompleks z yang tidak sama dengan nol memiliki kebalikan unik yang dilambangkan dengan –z.
Jika z = a + bi, maka –z = -a - bi.
Kebalikan dari bilangan kompleks sama dengan kebalikan aditif dari bilangan kompleks.
Bilangan kompleks w dan z saling berlawanan jika dan hanya jika w + z = 0.
Arah sudut bilangan kompleks z dapat berkisar dari 00 hingga 3600.
Secara umum, bilangan kompleks tidak positif atau negatif karena arah sudut bilangan kompleks dapat berkisar dari 00 hingga 3600; bukan hanya 00 atau 1800.
Untuk semua bilangan kompleks w dan z, w * z = (-w) (- z). Catatan: Ini berlaku untuk setiap pasangan bilangan kompleks. Ekspresi (-w) * (- z) tidak menunjukkan kami mengalikan dua bilangan kompleks negatif karena bilangan kompleks pada umumnya tidak memiliki properti positif atau negatif.
Simbol –z berarti kebalikan dari z; tidak negatif z.
id.quora.com